Советский и российский поэт, прозаик, переводчик, художник, один из основателей литературного объединения СМОГ.
Окончил среднюю школу в Кривом Роге, куда семья переехала в 1946 году. С 1962 года публиковал свои стихотворения в украинских газетах. В 1964 году поступил на отделение истории и теории искусства исторического факультета МГУ, откуда был отчислен спустя год, однако впоследствии восстановился и окончил университет в 1973 году.
В 1964 году тексты Алейникова стали расходиться в самиздате, что принесло ему популярность. В 1965 году вместе с поэтом Леонидом Губановым основал литературное содружество СМОГ и стал его лидером. В 1980‑х годов был известен как переводчик поэзии народов СССР. В 1980 году — лауреат литературной премии Андрея Белого. В 1996 году рассматривался вопрос о выдвижении Алейникова на Нобелевскую премию по литературе. В 1996 году награждён медалью Кирилла и Мефодия — за выдающиеся достижения в отечественной словесности.
